题目

已知函数f(x)＝
(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；
(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．

答案

（1）a≤log₂（2）a>时，函数f(x)有最小值

解析

(1)因为x<a时，f(x)＝4^x－4×2^x－a，所以令t＝2^x，则有0<t<2^a.
当x<a时f(x)<1恒成立，转化为t²－4×<1，
即>t－在t∈(0，2^a)上恒成立．
令p(t)＝t－，t∈(0，2^a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2^a)上单调递增，
所以≥2^a－，所以2^a≤，解得a≤log₂.
(2)当x≥a时，f(x)＝x²－ax＋1，即f(x)＝＋1－，
当≤a时，即a≥0时，f(x)_min＝f(a)＝1；
当>a时，即－4≤a<0，f(x)_min＝f＝1－.
当x<a时，f(x)＝4^x－4×2^x－a，令t＝2^x，t∈(0，2^a)，则h(t)＝t²－t＝－，
当<2^a，即a> 时，h(t)_min＝h＝－；
当≥2^a，即a≤时，h(t)在开区间t∈(0，2^a)上单调递减，h(t)∈(4^a－4，0)，无最小值．
综合x≥a与x<a，所以当a> 时，1>－，函数f(x)_min＝－；
当0≤a≤时，4^a－4<0<1，函数f(x)无最小值；
当－4≤a<0时，4^a－4<－3≤1－，函数f(x)无最小值．
综上所述，当a>时，函数f(x)有最小值．