题目

已知函数，点、是该函数图象上的两点，且满足，；
（1）、求证：；
（2）、问是否能够保证和中至少有一个为正数？请证明你的结论。

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

（1）、依题意，有，则或，
则方程有实根，即方程有实根，，
又且，则、、，
则，
由于，则；
（2）、依题意，，即1是方程的一个根，则另一个根为，且，则有，不妨设，
即：，∴，∴（◆）
又由及得，
∴，
而函数在上为增函数，∴，
同理，若，则有，命题得证。