题目

（本小题满分12分）
已知函数
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点、，证明：

答案

（1）[，＋∞)（2）

解析

试题分析：（1）因为
所以． 
法一：若在(0，＋∞)单调递增，则在(0，＋∞)上恒成立，
，
由于开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。
若在(0，＋∞)单调递减，则在(0，＋∞)上恒成立，

由于开口向上，对称轴为，
故只须解得。
综上，的取值范围是[，＋∞)．
法二：令．当时，，在 (0，＋∞)单调递减．
当时，，方程有两个不相等的正根，
不妨设，
则当时，，
当时，，这时不是单调函数．
综上，的取值范围是[，＋∞)．
（2）由（1）知，当且仅当∈(0，)时，有极小值点和极大值点，
且＝，＝．



令，
则当时，＝－＝＜0，在(0，)单调递减，
所以即． 
点评：导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具，研究函数的性质时要注意函数的定义域.