题目

(本小题满分12分）函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数的值.（2）用定义证明在上是增函数；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.

答案

解：（1） ；（2）见解析；
(3)单调减区间为；当时，；当时，.

解析

本题主要考查了奇函数的性质的应用，f（0）=0，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的应用．
①由函数f（x）是奇函数可得f（0）=0可求b，由 可求a，进而可求f（x）
②由①可得f(x)= ，利用单调性的定义设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x₁)-f(x₂)作差，变形定号下结论得到。
（3）在上一问的基础上可知，函数的最值。
解：（1）∵是奇函数，∴∴∴---3分
故 又　∵， ∴　　 -5分∴　 -----6分
（2）任取，
∵ ∴，，，，∴即∴在上是增函数.  --10分
(3)单调减区间为；当时，；当时，.
-------------------------------------------14分