题目

(本小题满分13分)
(1)证明：函数在上是减函数，在[，+∞)上是增函数；

答案

解： （1）证明：见解析；
（2）当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.

解析

本试题主要是考查了二次函数的单调性以及函数与方程的综合运用。
（1）根据但单调性的定义法，设变量，作差，变形定号，下结论。
（2）在第一问的基础上，结合单调性，得到函数的最值，然后分析得到参数的范围。
解： （1）证明：设，且
则==
==．………4分
（ⅰ）若，且，，所以，
即．所以函数在区间[，+∞)上单调递增．………6分
（ⅱ）若，则且，，
所以，即．所以函数在区间[，+∞)上单调递减．………………………………8分
（2）由（1）知函数在区间（1，)上单调递减，在区间[，2]上单调递增
所以的最小值=，的最大值=……………………10分
故当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.………………………………………13分