题目

定义在上的函数，，当时，，且对任意的
，有，
(1)求的值；
（2）求证：对任意的，恒有；
（3）判断的单调性，并证明你的结论。

答案

(1)  (2) 见解析 （3） 在上为增函数

解析

本试题主要是考察了函数的奇偶性和函数的单调性的证明，以及函数值符号的判定的综合运用。
（1）利用赋值思想得到结论f(0)=1
(2)由于当时， ，，当时，
当时 ， 利用互为倒数可知，结论成立。
（3）利用单调性的定义，作差，然后判定与零的大小关系得到。注意结合题中的关系式的变换得到。
解： (1)  ………………2分
(2) 当时， ，，当时，
当时 ， ∵ ∴
所以对任意的恒有………………6分
（3）设，则
 由题知 ，∴ 
在上为增函数