题目

已知函数
（I）当的单调区间；
（II）若函数的最小值；
（III）若对任意给定的，使得
的取值范围。

答案

（I）（II）
（III） 使成立。

解析

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调区间和函数的零点问题，以及方程根的问题的综合运用
（1）利用定义域和函数的导数，判定导数大于零和小于零的解集得到单调区间。
（2）利用要是函数在给定区间无零点，只需要函数值恒大于零即可，然后借助于导数分析最小值大于零即可。
（3）分别分析连个函数的单调性，然后要是满足题意，只需要研究最值和单调性减的关系即可。
解：（I）当 …………1分
由由 
故  …………3分
（II）因为上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，
即对恒成立。  …………4分
令
则  …………5分

 
综上，若函数 …………6分
（III）

所以，函数 …………7分


故 ① …………9分
此时，当的变化情况如下：

	—	0	+
		最小值

②③

即②对任意恒成立。  …………10分
由③式解得：  ④ 
综合①④可知，当
在 
使成立