题目

已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有
（1）判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；
（2）若f(1)=1，且f(x)≤m2－2bm+1对所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.

答案

（1）见解析（2）（－，－2]∪{0}∪[2，+)

解析

（1）证明：设x1，x2∈[-1，1]，且x1<x2,

∵x1<x2,∴x1－x2<0,又∵f(x)是奇数，∴f(－x2)=－f(x2)，

即f(x1)< f(x2).故f(x)在[－1，1]上为增函数.
（2）解：∵f(1)=1且f(x )在[－1，1]上为增函数，所以对x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1.由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，有f(x)≤m2－2bm+1恒成立，
所以m2－2bm+1≥1m2－2bm≥0.
记g(b)=－2mb+m2，对所有的b∈[－1，1]，要g(b)≥0恒成立.只需
 m∈（－，－2]∪{0}∪[2，+).
所以实数m的取值范围是：m∈（－，－2]∪{0}∪[2，+).