题目

（本小题满分14分）
已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意正数，证明：。

答案

（1）在中单调递增，而在中单调递减。
（2）证明见解析。

解析

（1）当时，，求得，
于是当时，；而当时，。
即在中单调递增，而在中单调递减。
（2）.对任意给定的，，由 ，
若令，则… ① ，而…  ②
（一）、先证；因为，，，
又由 ，得．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为，
，此时．
（ⅱ）、当 …③，由①得 ,，，
因为  所以… ④
同理得 …  ⑤ ，于是… ⑥
今证明…  ⑦, 因为 ，
只要证 ，即，也即，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得．
综上所述，对任何正数，皆有．