题目

已知函数
f(x)=，其中n．
（1）求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若p≤<q对一切n∈N_＋恒成立，求实数p和q的取值范围．

答案

（1）同解析；（2）实数p和q的取值范围分别是，；

解析

（1） =，……1分
=。……2分
令
，从而x₁<x₂<x_3.  当n为偶数时f(x)的增减如下表

x	（-∞，0）	0	（0，）		（，1）	1	（0，+∞）
	+	0	+	0	—	0	+
		无极值		极大值		极小值

所以当x=时，y_极大=；当x=1时，y_极小="0." ……5分
当n为奇数时f(x)的增减如下表

x	（-∞，0）	0	（0，）		（，1）	1	（0，+∞）
	+	0	+	0	—	0	—
		无极值		极大值		无极值

所以当x=时，y_极大=。……8分
（2）由（1）知f(x)在x=时取得最大值。所以=，
=23=，
=。
，即；
所以实数p和q的取值范围分别是，。……14