定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f()；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f()=，试求f()-f()-2f()的值． |
答案
（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴＞0，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴＜1
∴0＜＜1，
所以f()＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f()-f()=f()即f()=f()+f()
∵f()+f()=f()即-f()=f()-f()
∵f()+f()=f()即-2f()=2f()-2f()
又∵f()+f()+f()=f()+f()=f()
∴f()-f()-2f()=f()+f()+f()-f()+2f()-2f()
∴f()-f()-2f()=4f()=（14分） |
解析
