函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），且x1，x2∈（2，+∞）时，

f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0成立，若f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2）对θ∈R恒成立．
（1）判断y=f（x）的单调性和对称性；
（2）求m的取值范围．

答案

（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的对称轴为x=2．…（2分）
当2＜x1＜x2时，f （x1）＜f （x2）；当2＜x2＜x1时，f （x2）＜f （x1）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上为增函数，在（-∞，2）上为减函数．…（4分）
（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，
即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．…（7分）
由（i）得m2+3m+4＜-cos2θ+sinθ=（sinθ+

1
2
）2-
5
4
恒成立，∴m2+3m+4＜-
5
4
，
故 4m2+12m+21＜0恒成立，m无解．…（10分）
由（ii） 得3m2-3m-4＜-cos2θ-sinθ=（sinθ-
1
2
）2-
5
4
恒成立，可得3m2-3m-4＜-
5
4
，
即 12m2-12m-11＜0，解得
3-

解析

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