题目

设函数f(x)=x+

a2

x

(a＞0)，
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；
（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．

答案

（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-

a2

x

=-f(x)，
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂≤a，则f(x1)-f(x2)=x1+

a2

x1

-x2-

a2

x2

=(x1-x2)(1-

a2

x1x2

)．
因为0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，从而1-

a2

x1x2

＜0且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

解析