已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f"（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求实数x=1的取值范围．

答案

（1）设-1≤x1＜x2≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）=x2-x1＞0，由题设有

f(x2)+f(-x1)
x2+(-x1)
＞0，
∴f（x2）+f（-x1）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(
1
x-1
)＞0⇔f(0)＜f(
1
x-1
)
⇔

解析

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