函数f(x)=ax+2b1+x2是定义在

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

函数f(x)=

ax+2b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1)=
1
2
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f(2-t)+f(
t
5
)＜0．

答案

（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=

ax
1+x2
，x∈（-1，1），
∵f（1）=
1
2
，
∴a=1，
则f（x）=
x
1+x2
，x∈（-1，1）；
（2）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
x1(1+x22)-x2(1+x12)
(1+x12)
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
，
由x1＜x2，得x1-x2＜0，
由x1，x2∈（-1，1），得x1x2∈（-1，1），即1-x1x2＞0，
∵1+x12≥1，1+x22≥1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（2-t）=-f（t-2），
∴f（
t
5
）＜f（t-2），
又f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴

解析

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