题目

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数．

答案

（1）由题意可知定义域为x∈R，
而f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

(a-x-1)•ax

(a-x+1)•ax

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，
∴（x）是奇函数；
（2）设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵a＞1，∴ax1＜ax2，且ax1+1＞0，ax2+1＞0
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．

解析