题目

已知函数f(x)=xm-

2

x

，且f（2）=1．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并给予证明．

答案

（1）因为f（2）=1，即2m-

2

2

=1，解得m=1．
（2）函数f（x）为奇函数．
函数f(x)=x-

2

x

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又因为f(-x)=-x-

2

-x

=-(x-

2

x

)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数．
（3）设x₁＜x₂＜0，
则f(x1)-f(x2)=x1-

2

x1

-(x2-

2

x2

)=x1-x2-(

2

x1

-

2

x2

)=(x1-x2)(1+

2

x1x2

)，
因为x₁＜x₂＜0，所以x₁-x₂＜0，1+

2

x1x2

＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）在（-∞，0）上为单调增函数．

解析