题目

（1）判断函数f(x)=x2+

1

x

在（1，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若函数f(x)=x2+

a

x

在区间（1，+∞）上的单调递增，求实数a的取值范围．

答案

（1）f（x）在（1，+∞）上的单调递增…（2分）
x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂…（3分）
则x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，x₁x₂＞1，

1

x1x2

＜1∴

1

x1x2

-(x1+x2)＜0…（5分）
f(x1)-f(x2)=

x

21

+

1

x1

-(

x

22

+

1

x2

)
=(x1+x2)(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x2-x1)[

1

x1x2

-(x1+x2)]＜0…（7分）
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（1，+∞）上的单调递增 …（8分）
（2）f/(x)=2x-

a

x2

≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x³在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）

解析