设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f(

1
2
)的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）一个各项均为正数的数列{an}，它的前n项和是Sn，若a1=3，且f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使2n•a1•a2…an≥M•

答案

（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x=2，y=
1
2
，得f(
1
2
)=-1（2分）
y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：
任取0＜x1＜x2，则
x2
x1
＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(
x2
x1
)＞0
在已知式中令x=x1，y=
x2
x1
，得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)＞0，即证．（4分）
（2）当n≥2时，∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1
∴f（Sn）+1=f（an）+f（an+1），即f（2Sn）=f（an（an+1））
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2Sn=an（an+1）（6分）
∴2Sn+1=an+1（an+1+1）
两式相减得：2an+1=
a 2n+1
+an+1-
a 2n
-an，即（an+1+an）（an+1-an-1）=0∵an＞0，
∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起，是以1为公差的等差数列…（7分）
又在2Sn=an（an+1）中令n=2可得：a2=3
综上，an=

解析

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