题目

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，则a的最小值为（　　）

A．10

B．2

C．3

D．4

答案

∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，
∴F（x）=g（x）-f（x）=loga

(2x+t)2

x+1

，x∈[0，1），t∈[4，6）
∵a＞1，
∴令h（x）=

(2x+t)2

x+1

=

[2(x+1)+(t-2)]2

x+1

=4（x+1）+4（t-2）+

(t-2)2

x+1

∵0≤x＜1，4≤t＜6，
∴h（x）=4（x+1）+

(t-2)2

x+1

+4（t-2）在[0，1）上单调递增，
∴h（x）_min=h（0）=4+（t-2）²+4（t-2）=[（t-2）+2]²=t²，
∴F（x）_min=log_at²=4，
∴a⁴=t²；
∵4≤t＜6，
∴a⁴=t²≥16，
∴a≥2．
故选B．

解析