已知函数f（logax）=aa2-1(x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（logax）=

a
a2-1
(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，求函数a的取值范围．

答案

（1）由f（logax）=

a
a2-1
(x-x-1)，得f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)，…2’
因为定义域为R，
f(-x)=
a
a2-1
(a-x-ax)=-f（x）
所以f（x）为奇函数，…4’
因为f′(x)=
a•lna
a2-1
(ax+a-x)，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m2）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），，
又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m2＜1，得1＜m＜

解析

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