题目

已知函数f（x）=2^x+2^-x．（1）证明f（x）是偶函数；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明．

答案

（1）证明：f（x）的定义域为R，…（1分）
且对于任意x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）
（2）f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（5分）
证明如下：设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，则△x=x₁-x₂＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+

1

2x1

)-(2x2+

1

2x2

)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x1+x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)．
因为0＜x₁＜x₂，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，从而△y＜0，
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（10分）

解析