题目

阅读不等式2^x+1＞3^x的解法：
设f(x)=(

2

3

)x+(

1

3

)x，函数y=(

2

3

)x和y=(

1

3

)x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
∵f（1）=1，∴当x＜1时，(

2

3

)x+(

1

3

)x＞1，当x≥1时，(

2

3

)x+(

1

3

)x≤1．
∵3^x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
（1）试利用上面的方法解不等式2^x+3^x≥5^x；
（2）证明：3^x+4^x=5^x有且仅有一个实数解x=2．

答案

（1）设g(x)=(

2

5

)x+(

3

5

)x，函数y=(

2

5

)x和y=(

3

5

)x在R内都单调递减；则g（x）在（-∞，+∞）内单调递减，
∵g（1）=1，当x≤1时，(

2

5

)x+(

3

5

)x≥1，当x＞1时，(

2

5

)x+(

3

5

)x＜1；
∴不等式2^x+3^x≥5^x的解集为：{x|x≤1}；
（2）令h(x)=(

3

5

)x+(

4

5

)x，函数y=(

3

5

)x和y=(

4

5

)x在R内都单调递减；则h（x在（-∞，+∞）内单调递减，
∵h（2）=2，当x＜2时，(

3

5

)x+(

4

5

)x＞1，当x＞2时，(

3

5

)x+(

4

5

)x＜1；
∴有且只有一个实数x=2使得(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，即3^x+4^x=5^x有且仅有一个实数解x=2．

解析