定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f

难度：一般题型：解答题来源：不详 2023-07-26 22:30:02

题目

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使

f(x)+2kx-9

＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函数f（x）的一个周期（2分）
（2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）当x∈[2k-1，2k+1]时，

f(x)+2kx-9

＞0⇔

x2-2kx+4k2

＞0
①当k≥1时，则2k-1≥1，∴x＞0
∴原题等价于x²-2kx+4k²-9＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
设g（x）=x²-2kx+4k²-9
当k≥1时，对称轴x=k≤2k-1
则g（2k-1）=4k²-2k-8≥0，
解得k≥