题目

证明函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在(-∞，-

b

2a

)上是增函数．

答案

任取x1，x2∈(-∞，-

b

2a

)，且x1＜x2，f(x1)=ax12+bx1+c，f(x2)=ax22+bx2+c
f（x₁）-f（x₂）=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，而x1＜-

b

2a

，x2＜-

b

2a

，所以x1+x2＜-

b

a

，
又a＜0，所以a(x1+x2)＞(-

b

a

)•a=-b，从而a（x₁+x₂）+b＞0
由此可知f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在(-∞，-

b

2a

)上是增函数．

解析