题目

已知函数f(x)=xm+

2

x

，
（1）若m∈Z，判定f（x）的奇偶性；
（2）若f(4)=

33

2

，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给予证明．

答案

（1）m是奇数时，定义域是{ x|x≠0}，
f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
m为偶数时，定义域是{ x|x≠0}，
f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），
f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

（2）由f(4)=

33

2

，得m=2，∴f(x)=x2+

2

x

，
f（x）在（1，+∞）上的单调增函数，
证明：设a＞b＞1，f（a）-f（b）=a²+

2

a

-b²-

2

b

=（a+b）（a-b）-

2(b-a)

ab

=（a-b）（a+b-

2

ab

）
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，a+b＞

2

ab

，∴（a-b）（a+b-

2

ab

）＞0，
∴f（a）-f（b）＞0，f（x）在（1，+∞）上的单调增函数．

解析