题目

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)；
（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

答案

（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得
f（1•1）=f（1）+f（1）-3，可得：
 f（1）=3  （2分）
  （2）由已知以及（1）的结论可得f(1)=f(x•

1

x

)=f(x)+f(

1

x

)-3=3
即有：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)（7分）
  （3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜3，f(x2)+f(

1

x1

)-3＜3，
f(x2)＜6-f(

1

x1

)=f(x1)．
∴f（x）是（0，+∞）上的减函数． （14分）

解析