探究函数f(x)=x2+16x2(x＞0)
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
探究函数f(x)=x2+(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
| x |
… |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.7 |
2 |
2.1 |
2.3 |
3 |
4 |
7 |
… |
| y |
… |
64.25 |
17 |
9.36 |
8.43 |
8 |
8.04 |
8.31 |
10.7 |
17 |
49.33 |
… |
已知：函数f(x)=x2+(x＞0)在区间（0，2）上递减，问：
（1）函数f(x)=x2+(x＞0)在区间______上递增．当x=______时，y最小=______．
（2）证明：函数f(x)=x2+(x＞0)在区间（0，2）递减；
（3）思考：函数f(x)=x2+(x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明） |
答案
（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）； 当x=2时y最小=4．
故答案为（2，+∞），2，4． …（4分）
（2）证明：设 0＜x1＜x2 ＜2，
∵f（x1）-f（x2）=x12+-x22+=(x12-x22)(1-)=
| (x12-x22)(x12x22-16) |
| (x1x2)2
|
．
又∵0＜x1＜x2＜2，∴x12-x22＜0，又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
∴(x1x2)2-16＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0∴函数在（0，2）上为减函数．…（9分）
（3）思考：y=x2+，x∈(-∞，0)，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．…（12分） |
解析
