题目

已知函数f（x）=x²+2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，则实数m的最大值为______．

答案

设g（x）=f（x+t）-3x=x²+（2t-1）x+（1+t）²-1，
由题值f（x+t）-3x≤0恒成立
即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：
t∈[-4，0]，m²+（2t-1）m+（t+1）²-1≤0，
即当t=-4时，得到m²-9m+8≤0，解得1≤m≤8；当t=0时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1
综上得到：m∈（1，8]，所以m的最大值为8
故答案为：8．

解析