题目

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，则f（2010）=______．

答案

由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=1代入上式得，f（2）f（0）=1，
∵f（2）=3，∴f（0）=

1

3

，
再用x+1代换x，代入上式可得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=3．
故答案为 3．

解析