已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)
a+b
＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（
1
x-1
）；
（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m2-2am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=

f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•（x1-x2），
由已知得
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
＞0，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴

解析

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