题目

已知函数f(x)=2x+

a

x

，且f（1）=1．
（1）求实数a的值，并写出f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

答案

（1）由f（1）=1得，2+a=1，解得a=-1，
所以f（x）=2x-

1

x

；
（2）函数f（x）为奇函数，证明如下：
函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且f（-x）=-2x+

1

x

=-（2x-

1

x

）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（3）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：
因为f′（x）=2+

1

x2

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．

解析