已知函数f（x）=log4（4x+1）-（k-1

难度：一般 题型：解答题 来源：闵行区一模

题目

已知函数f（x）=log4（4x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设g(x)=log4(a•2x-

4
3
a)（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）为偶函数，
故log4（4-x+1）+（k-1）x=log4（4x+1）-（k-1）x对所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，
∴k=

3
2
．（4分）
（2）由（1）得f(x)=log4(4x+1)-
x
2
，即f(x)=log4
4x+1
2x
．（2分）
log4(2x+
1
2x
)≥log42=
1
2
，
故当且仅当x=0时，（3分）
f（x）的最小值是
1
2
．（5分）
（3）由方程log4(4x+1)-
x
2
=log4(a•2x-
4
3
a)（*）
可变形为

解析

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