题目

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f(n)=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

(n∈N，且n≥2)，求函数f（n）的最小值．

答案

（1）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
a_n=1+（n+1）•1=n（n≥2），a₁=1同样满足，
所以a_n=n．
（2）f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

，f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0．
所以f（n）是单调递增，
故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

．

解析