题目

已知函数f（x）=-

1

a

+

2

x

（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：
∵f"（x）=-

2

x2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）由f（x）＞0得-

1

a

+

2

x

＞0，
即

x-2a

ax

＜0．
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}．
②当a＜0时，原不等式为

x-2a

x

＞0．
解集为{x|x＞0}．
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即-

1

a

+

2

x

+2x≥0．∴

1

a

≤

2

x

+2x．
∵

2

x

+2x≥4，∴

1

a

≤4．
解得a＜0或a≥

1

4

．

解析