已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（

1
2
）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

答案

需先研究y=f（x）的单调性，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＞x2，则

x1
x2
＞1．
f（x1）=f（
x1
x2
•x2）=f（
x1
x2
）+f（x2），
∴f（x1）-f（x2）=f（
x1
x2
）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（
1
2
）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于

解析

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