题目
| 1+x |
| x-1 |
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥loga2x，求x的取值范围．
答案
f（x2）-f（x1）=loga
| x2+1 |
| x2-1 |
| x1+1 |
| x1-1 |
=loga
| (x2+1)(x1-1) |
| (x2-1)(x1+1) |
=loga
| x1x2+x1-x2-1 |
| x1x2-x1+x2-1 |
又∵x2＞x1＞1，∴x1-x2＜x2-x1．
∴0＜x1x2-x2+x1-1＜x1x2-x1+x2-1．
∴0＜
| x1x2+x1-x2-1 |
| x1x2-x1+x2-1 |
当a＞1时，f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由
| x+1 |
| x-1 |
∵
| x+1 |
| x-1 |
| 2 |
| x-1 |
当a＞1时，
∵x＞1⇒f（x）＞0，x＜-1⇒f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1⇔1＜x＜f-1（1）=
| a+1 |
| a-1 |
∴
解析 |