定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=

2x
4x+1
．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

答案

（1）设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2　　
则f（x1）-f（x2）=

2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)
(4x1+1)(4x2+1)
=
2x14x2+2x1-2x24x1-2x2
(4x1+1)(4x2+1)

=
2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2
(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x1+x2 -1)(2x2-2x1)
(4x1+1)(4x2+1)

∵x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2　，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0
∴
(2x1+x2 -1)(2x2-2x1)
(4x1+1)(4x2+1)
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1

∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-
2x
4x+1

又∵f（0）=0
∴f(x)=

解析

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