题目

关于函数f（x）=sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（　　）
①f（x）是奇函数②当x＞2003时，f（x）＞

1

2

恒成立③f（x）的最大值是

3

2

④f（x）的最小值是-

1

2

．

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2003，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此结论②错．
又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
故选A

解析