（1）判断函数f（x）=x+4x在x∈（0

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（1）判断函数f（x）=x+

4
x
在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数f(x)=x+
a
x
，(a＞0)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式x+
9
x
-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？

答案

（1）函数f（x）=x+

4
x
在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）
证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+
1
x1
-
1
x2
…（2分）
=(x1-x2)
x1x2-4
x1x2
…（3分）
又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+
4
x
在（0，2]上是减函数 …（4分）
又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x+
4
x
在[2，+∞）上是增函数…（5分）
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-

解析

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