题目

已知f（x）是偶函数，当x∈R⁺时，f′（x）＞

f(x)

x

，且f（1）=0，则关于x的不等式

f(x)

x

＞0的解集是______．

答案

∵当x∈R⁺时，f′（x）＞

f(x)

x

，
即xf′（x）-f（x）＞0
令h（x）=

f(x)

x

则h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0
故h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又∵f（1）=0，
∴当x∈（1，+∞）时，h（x）=

f(x)

x

＞0
当x∈（0，1）时，h（x）=

f(x)

x

＜0
又∵f（x）是偶函数，
∴h（x）=

f(x)

x

是奇函数
故在（-∞，0）上，当x∈（-1，0）时，h（x）=

f(x)

x

＞0
综上不等式

f(x)

x

＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

解析