题目

已知函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0，则f（2010）=（　　）

A．2010

B．2009

C．1005

D．1004

答案

取x=y=0，得f（0）=0，
取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]²，即f（1）=2[f（1）]²．
∵f（1）≠0，
∴f(1)=

1

2

．
  取x=n，y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+

1

2

．
  即f(n+1)-f(n)=

1

2

，所以f(n)=

n

2

，
  从而f（2010）=1005，
  故选C．

解析