设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设0＜a＜1，f(logax)=

a(x2-1)
(a2-1)x
，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）令t=logax，则x=at，∴f(t)=

a(a2t-1)
(a2-1)at
，∴f（x）=
a
a2-1
(ax-a-x），x∈R．（2分） 
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（ax）-f（2）＞f（2）-f（ax）
∴f（ax）＞f（2），ax＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜loga2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=
1
an
•
a[1-(a2)n]
1-a2
=
1
an
(a+a3+a5+…a2n-1，）
=
1
2an
[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a2n-1+a）]＞
1
2an
•n•2an=n(∵0＜a＜1)（5分）
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a-k＞ak+ak-k∵0＜a＜1，
∴可令
1
a
=1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+
1
a
-1)+1＞k+1
（文科）∵f(x)＜4⇔x＜2⇔f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-

解析

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