题目

已知函数f（x）=

ex-e-x

ex+e-x

（其中e=2.71828…是一个无理数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．

答案

f（x）=

e2x-1

e2x+1

=1-

2

e2x+1

（1）∵e^2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函数是奇函数
∵f（-x）=

e-2x-1

e-2x+1

=

1-e2x

1+e2x

=-f(x)
又由上一问知函数的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（3）是一个单调递增函数
设x₁，x₂∈R  且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

e2x1+1

-1+

2

e2x2+1

=

2(e2x1-e2x2)

(e2x1+1)(e2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴e2x1-e2x2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R是单调增函数

解析