题目
| 2x |
| 4x+1 |
（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围，
答案
当x∈（0，1）时，f（x）=
| 2x |
| 4x+1 |
设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=
| 2x 1 |
| 4x1+1 |
| 2x2 |
| 4x2+1 |
| (2x2-2x1)(2x1+x2-1) |
| ( 4x1+1)(4x2+1) |
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
| 2x |
| 4x+1 |
由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=
解析 |