题目

已知定义在R上的函数f（x）=2^x-

1

2丨x丨

．
（1）若f（x）=

3

2

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解　（1）当x＜0时，f（x）=0，不符合题意；
当x≥0时，f（x）=2^x-

1

2x

，
由2^x-

1

2x

=

3

2

，得2•2^2x-3•2^x-2=0，
将其看成关于2^x的一元二次方程，解之得2^x=2或-

1

2

，
结合2^x＞0，得2^x=2，解之得x=1；
（2）当t∈[1，2]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1），
∵2^2t-1＞0，
∴不等式等价于m≥-（2^2t+1），
∵t∈[1，2]，函数F（t）=-（2^2t+1）是单调减函数
∴-（2^2t+1）的最小值为F（2）=-17，最大值为F（1）=-5
即-（2^2t+1）∈[-17，-5]，
故若原不等式恒成立，则m的取值范围是[-5，+∞）．

解析