题目

已知函数f(x)=x-

1

xm

且f(2)=

3

2

，x∈(0，+∞)．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（2）若f（3^x-2-1）＜f（9^x-1），求x的取值范围．

答案

（1）∵f(2)=

3

2

，
∴2-

1

2m

=

3

2

，
∴m=1，
∴f(x)=x-

1

x

（3分）
在（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂（4分）
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）（9分）
所以f（x）在其定义域上是单调增函数．（10分）
（2）由题意得：

解析 相关题目 已知函数f(x)=x-1xm且f(2)= 已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈ 已知两个不共线的向量OA， 已知f（x）=x2+1  ， 已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且 已知f(x)=sin2x+2cosxf′(π 下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞ 定义在R上的奇函数f（x）在区间[1，4]上 设f(x)=alog22x+blog4x2+1， 已知f（x）=x+sinx，x∈[-1，1]，且 闽ICP备2021017268号-8