题目

（1）求证：函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数；
（2）写出函数f(x)=

x+1

x+3

的单调区间；
（3）讨论函数f(x)=

x+a

x+2

在区间（-2，+∞）上的单调性．

答案

（1）证明：任取x₁＞x₂＞-1，则f（x₁）-f（x₂）=

x1+3

x1+1

-

x2+3

x2+1

=

(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0；x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数．
（2）f(x)=

x+1

x+3

=1-

2

x+3

，
∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
则函数的单调增区间（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

，
当a＞2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递减，
当a=2时，无单调性；当a＜2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递增．

解析