题目

已知函数f（x）=x-x^-1．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

答案

（I）f（x）=x-x^-1的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x^-1=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
（II）任取x₁，x₂∈（0，+∞），不妨设x₁＜x₂，则有

f(x1)-f(x2)=x1- 1 x1 -(x2- 1 x2 ) =(x1-x2)+( 1 x2 - 1 x1 ) =(x1-x2)+( x1-x2 x1x2 ) =(x1-x2)(1+ 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2

∵x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解析