题目

下列四个命题：
①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log₃x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是13；
③y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，f(x)=(

1

3

)x；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log₃4）的值是

1

36

．
其中正确命题是 ______．

答案

①举一个例子y=-

1

x

，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；
②由x∈[1，9]，又f（x）=log₃x+2，所以y=[f（x）]²+f（x²）=[log₃x+2]²+

log

x23

+2，根据3＞1得到对数函数log₃^x为增函数，所以分别当x=9时log₃^x和

log

x23

达到最大即y取最大．则y最大=（log₃⁹+2）²+log₃⁸¹+2=22，所以此命题错；
③当x＞0时，y=x²-2x-3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x²+2x-3，为对称轴为直线x=-1的开口向上的抛物线，所以（-1，+∞）为增区间，综上，函数y的增区间为[1，+∞），正确；
④因为1+log₃4＜3，所以f（1+log₃4）=f（1+1+log₃4），而2+log₃4＞3，所以f（2+log₃4）=(

1

3

)2+

log

43

=(

1

3

)2×

1

4

=

1

36

，命题正确．
所以正确命题的序号是③④
故答案为：③④

解析